■ハイポサイクロイド（Hypocycloid）内サイクロイド
　原点を中心とする半径の円の中を半径の円が内接しながらすべることなくころがるとき，
動く円の周上に固定した点で，はじめ軸上にあった点の位置は次の式で与えられる。


･･･①
【証明】

図で，とおくと，点の座標は，である。
図のように，円の中心を通る直径をに平行になるように引く。
また，点からに垂線を引く。
とおくと，弧＝弧であるから，∴
⊿は直角三角形で，であるから，

よって，点の座標は，
点の座標は，となる。
【終証】
（2009.11.1）
【補足】
特にのとき，①は，となり，
この曲線をアステロイド（asteroid星芒形）という。
（下図は の場合）

（2009.11.27）