■平成１７年度　北海道・札幌市公立学校教員採用候補者選考検査（筆記検査）問題

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専門問題

（注意）検査時間は１００分。解答は解答用紙に記入。三角定規、コンパスの使用可。

第１問	次の問いに答えなさい。
(1)	方程式 の１つの解が のとき、実数 の値と他の解を求め なさい。ただし、 は虚数単位とする。
(2)	不等式 を解きなさい。
(3)	の辺またはその延長が、三角形の頂点を通らない直線とそれぞれ点 で交わるとき、 となることを証明しなさい。
(4)	は定数とする。２次関数 の最大値、最小値を求めなさい。 また、そのときのの値を求めなさい。
第２問	点 と直線 …①がある。 は定数とし、 とする。 このとき、次の問いに答えなさい。
(1)	点 と直線①の距離は であることを証明しなさい。
(2)	３点 があるとき、 の面積を求めなさい。
第３問	の３点 の位置ベクトルをそれぞれ、 とし、 とする。 の内心 の位置ベクトルを で表しなさい。
第４問	平面上に点 がある。原点を通る曲線 上の任意の点 における 法線の傾きは直線 の傾きの３倍である。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)	曲線 の方程式を求めなさい。
(2)	直線 が曲線 と交わる点をそれぞれ点 とする。曲線 上の２点 に おける接線と、曲線 で囲まれる図形の面積を求めなさい。
第５問	行列 について、次の問いに答えなさい。
(1)	行列式 の値を求めよ。
(2)	で表される１次変換を とするとき、直線 の による像を求めなさい。
(3)	の固有ベクトルを を求めなさい。
(4)	を自然数とするとき、 を求めなさい。
第６問	式 を使って問題を１つつくり、その問題と模範解答をそれぞれ書きなさい。また、 採点する際の基準を箇条書きで書きなさい。
第７問	次の問題を以下のように解答した生徒に対して、あなたは、どのように解答の誤りに 気付かせ、正しい解答へと導きますか、説明しなさい。 問題 　１つのさいころを５回投げたとき、３の倍数の目が３回出る確率を求めなさい。 解答
第８問	数学 の指数関数の授業において、指数の拡張を教えるときに、あなたはどのような 点に留意して指導しますか、簡潔に述べなさい。